Nevolje s kvantnom mehanikom

1559769_10202018063667417_1279565641_n

Fotografija: Nasa

Piše: Steven Weinberg

1.

Razvoj kvantne mehanike u prvim decenijama 20. veka za mnoge fizičare je bio pravi šok. Uprkos njenim velikim uspesima, i danas se vode rasprave o njenom smislu i budućnosti. Prvi udar je bio izazov jasnim kategorijama na koje su fizičari pre 1900. godine bili naviknuti. Postojale su čestice – atomi, a onda elektroni i atomska jezgra – i postojala su polja – uslovi prostora koji prožimaju oblasti u kojima deluju električna, magnetska ili gravitaciona sila. Svetlosni talasi su jasno prepoznati kao samoodržive oscilacije električnog i magnetnog polja. Ali da bi objasnio svetlost koju emituju topla tela, Albert Einstein je 1905. godine shvatio da mora opisati svetlosne talase kao struje čestica koje nemaju masu i koje su kasnije nazvane fotoni.

Godine 1920. Louis de Broglie i Erwin Schrödinger su pokazali da se elektroni, koji su uvek smatrani česticama, u nekim uslovima ponašaju kao talasi. Da bi objasnili energije stabilnih stanja atoma, fizičari su morali da odustanu od ideje da su elektroni u atomima nalik malim newtonskim planetama koje kruže po orbiti oko atomskog jezgra. Elektrone u atomima je bolje opisati kao talase koji se raspoređuju oko jezgra kao što se zvučni talasi raspoređuju u cevima orgulja.1 Kategorije sveta su se pomešale.

Još gore, talasi elektrona nisu talasi elektronske materije onako kao što su okeanski talasi sačinjeni od vode. Kao što je otkrio Max Born, elektronski talasi su zapravo talasi verovatnoće. Kada se slobodni elektron sudari sa atomom, u načelu ne možemo da kažemo u kom će se pravcu odbiti. Posle susreta sa atomom, elektronski talas širi se u svim pravcima poput okeanskog talasa koji je udario u stenu. Born je shvatio da to ne znači da se sam elektron raspršuje, već da se nepodeljeni elektron kreće u nekom pravcu, ali se taj pravac ne može precizno predvideti. Verovatnije je da će se elektron kretati u pravcu gde je talas intenzivniji, ali svaki pravac je moguć.

Dvadesetih godina 20. veka verovatnoća nije bila nepoznata fizičarima, ali se smatralo da ona odražava nepotpunost znanja o datom predmetu proučavanja, a ne neodređenost samih fizičkih zakona. Newtonove teorije kretanja i gravitacije su postavile standard determinističkih zakona. Kad imamo razumno precizno znanje o mestu i brzini svakog tela u sunčevom sistemu u datom trenutku, pomoću Newtonovih zakona možemo s velikom tačnošću predvideti gde će se ta tela nalaziti u dalekoj budućnosti. Verovatnoća stupa u newtonsku fiziku samo onda kad je naše znanje nepotpuno, na primer kada nemamo precizno znanje o tome kako je bačen par kockica. Ali s novom kvantnom mehanikom kao da je izgubljen determinizam samih zakona fizike.

Sve je to veoma čudno. Godine 1926. Einstein se požalio u pismu Bornu:

“Kvantna mehanika je veoma impresivna. Ali unutrašnji glas mi kaže da to još nije prava stvar. Ta teorija je mnogo šta proizvela, ali teško da nas je približila Njegovoj tajni. U svakom slučaju, uveren sam da se Bog ne igra kockicama.”2

Godine 1964. u svom predavanju na Kornelu Richard Feynman se požalio: „Mislim da mirno mogu da kažem da niko ne razume kvantnu fiziku.“3 Kvantna mehanika je označila tako oštar prekid s prošlošću da su sve ranije fizičke teorije svrstane u „klasične“.

***

Čudnovatost kvantne mehanike nije ometala njene mnoge primene. Fizičari su naučili kako da je koriste za precizno računanje energetskih nivoa atoma i verovatnoće da će se čestice posle sudara raspršiti u ovom ili onom pravcu. Lawrence Krauss je kvantnomehaničko izračunavanje jednog efekta u spektru vodonika nazvao „najboljim, najtačnijim predviđanjem u celokupnoj nauci“.4 Pored atomske fizike, rane primene kvantne mehanike koje je nabrojao fizičar Gino Segrè obuhvatale su vezivanje atoma u molekule, radioaktivni raspad atomskih jezgara, električno provođenje, magnetizam i elektromagnetno zračenje.5 Kasnije primene su obuhvatile teorije o poluprovodljivosti i superprovodljivosti, bele patuljaste zvezde i neutronske zvezde, nuklearne sile i elementarne čestice. Čak i najsmelije moderne spekulacije, poput teorije struna, zasnovane su na principima kvantne mehanike.

Mnogi fizičari su na kraju poverovali da su reakcije Einsteina, Feynmana i drugih na neobične aspekte kvantne mehanike bile preterane. Tako sam i ja mislio. Najzad, i Newtonove teorije su uznemirile mnoge njegove savremenike. Newton je uveo silu teže, koju su mnogi njegovi kritičari videli kao okultnu silu koja nije povezana ni sa kakvim opipljivim silama i koja se ne može objasniti na osnovu filozofije ili čiste matematike. Pored toga, njegove teorije su odbacile glavni Ptolomejev i Keplerov cilj: da se veličine planetarnih orbita izvedu iz prvih principa. Ali na kraju je opiranje njegovim teorijama popustilo. Newton i njegovi sledbenici uspeli su da objasne ne samo kretanje planeta i padanje jabuka, već i kretanje kometa i satelita, kao i oblik zemlje i promenu pravca njene ose rotacije. Zahvaljujući tom uspehu, krajem 18. veka Newtonove teorije kretanja i gravitacije su prihvaćene kao tačne ili bar kao neverovatno dobre aproksimacije. Očigledno je pogrešno strogo zahtevati od novih fizičkih teorija da se uklope u neki prethodno zamišljeni filozofski standard.

U kvantnoj mehanici stanje sistema nije opisano navođenjem položaja i brzine svake čestice i vrednostima i brzinom menjanja raznih polja, kao u klasičnoj fizici. Umesto toga, stanje svakog sistema u svakom trenutku opisano je talasnom funkcijom, u suštini nizom brojeva – jedan broj za svaku moguću konfiguraciju sistema.6 Ako sistem čini samo jedna čestica, onda postoji broj za svaki mogući položaj te čestice u prostoru. To je donekle nalik opisu zvučnog talasa u klasičnoj fizici, samo što za zvučni talas broj za svaki položaj u prostoru daje pritisak vazduha u toj tački, dok za česticu u kvantnoj mehanici broj talasne funkcije za dati položaj odražava verovatnoću da je čestica u tom položaju. Šta je tu tako strašno? Izvesno je da su Einstein i Schrödinger napravili tragičnu grešku kad su ustuknuli od korišćenja kvantne mehanike i u kasnijem životu se udaljili od uzbudljivih otkrića do kojih su dolazili drugi naučnici.

2.

Čak i kada se tako tešim, više nisam siguran u budućnost kvantne mehanike kao što sam to nekada bio. Loš znak je i to što se fizičari koji se bave kvantnom mehanikom razilaze u njenom tumačenju. Ta razilaženja se uglavnom tiču prirode merenja u kvantnoj mehanici. To se može pokazati na jednostavnom primeru merenja spina jednog elektrona. (Spin čestice u bilo kom pravcu je mera količine rotacije materije oko ose koja pokazuje taj pravac.)

Sve teorije se slažu, a eksperimenti potvrđuju, da kad merimo količinu spina jednog elektrona u bilo kom arbitrarno izabranom pravcu, postoje samo dva moguća rezultata. Jedan će biti jednak jednom pozitivnom broju, jednoj univerzalnoj prirodnoj konstanti. (Tu konstantu je Max Planck 1900. uveo u svoju teoriju o zračenju toplote i označio sa h podeljeno sa 4π. Drugi mogući rezultat je suprotnost, negativ prvog. Te pozitivne ili negativne vrednosti spina odgovaraju elektronu koji se okreće ili u smeru kazaljke na satu ili suprotno od kazaljke na satu u izabranom pravcu.

Ali samo dok se obavlja merenje to su dve jedine mogućnosti. Elektronski spin koji se ne meri liči na muzički akord sačinjen od dva tona koji odgovaraju pozitivnom i negativnom spinu, pri čemu svaki ima svoju amplitudu. Kao što akord stvara zvuk različit od zvuka svakog pojedinačnog tona koji ga čini, stanje elektronskog spina koji još nije meren je superpozicija dva moguća stanja određenog spina koja je kvalitativno različita i od jednog i od drugog stanja. Po muzičkoj analogiji, čin merenja spina nekako pomera ceo intenzitet akorda na jedan od tonova, tako da čujemo samo taj ton.

To se može izraziti talasnom funkcijom. Ako zanemarimo sve osobine elektrona osim njegovog spina, u njegovoj talasnoj funkciji nema mnogo talasnog. To je samo par brojeva, po jedan broj za svaki znak spina u izabranom pravcu, slično amplitudama svakog od dva tona u akordu.7Talasna funkcija elektrona čiji spin još nije bio meren obično ima vrednost različitu od nule za oba znaka.

Bornovo pravilo kvantne mehanike kaže nam kako da koristimo talasnu funkciju da bismo izračunali verovatnoće dobijanja raznih mogućih rezultata u eksperimentima. Na primer, Bornovo pravilo nam kaže da su verovatnoće nalaženja bilo pozitivnog ili negativnog rezultata kad se spin meri u nekom izabranom pravcu srazmerne kvadratima brojeva u talasnoj funkciji za ta dva stanja spina.8

Uvođenje verovatnoće u principe fizike uznemirilo je fizičare, ali nevolja s kvantnom mehanikom nije to što ona povlači verovatnoće. S tim možemo da živimo. Nevolja je to što u kvantnoj mehanici načinom na koji se talasne funkcije menjaju s vremenom upravlja Schrödingerova jednačina, koja ne povlači verovatnoće. Ona je jednako deterministička kao Newtonove jednačine kretanja i gravitacije. To jest, ako imate talasnu funkciju u bilo kom trenutku, Schrödingerova jednačina reći će vam kakva će talasna funkcija biti u bilo kom budućem trenutku. Ne postoji čak ni mogućnost haosa, ekstremna osetljivost na početne uslove koja je moguća u newtonskoj mehanici. Dakle, ako uzmemo da celim procesom merenja upravljaju jednačine kvantne mehanike, a sve te jednačine su potpuno determinističke, kako onda verovatnoće ulaze u kvantnu mehaniku?

Uobičajeni odgovor je da tokom merenja spin (ili bilo šta drugo što se meri) stupa u interakciju s makroskopskom sredinom koja se ponaša nepredvidivo. Na primer, sredina može biti pljusak fotona u svetlosnom zraku koji se koristi za posmatranje sistema i u praksi je jednako nepredvidljiv kao pljusak kišnih kapi. Takva sredina izaziva raspadanje superpozicije različitih stanja u talasnoj funkciji, što vodi nepredvidivom rezultatu merenja (to se naziva dekoherencijom). Kao da je u bučnoj pozadini iz nepoznatog razloga ostao čujan samo jedan ton akorda. Ali tu se nameće pitanje: ako deterministička Schrödingerova jednačina upravlja promenom u vremenu ne samo spina već i mernog aparata i fizičara koji ga koristi, onda rezultat merenja u načelu ne bi trebalo da bude nepredvidiv. Dakle, i dalje moramo da pitamo kako verovatnoće ulaze u kvantnu mehaniku?

Jedan odgovor na tu zagonetku dao je dvadesetih godina 20. veka Niels Bohr u svom tumačenju kvantne mehanike koje je kasnije nazvano kopenhagenska interpretacija. Po Bohru, tokom merenja stanje nekog sistema poput spina urušava se u jedan ili drugi rezultat na način koji kvantna mehanika ne može da opiše i koji je istinski nepredvidiv. Danas je široko rasprostranjeno mišljenje da je taj odgovor neprihvatljiv. Izgleda da ne postoi način da se locira granica između područja u kojima, po Bohru, kvantna mehanika može ili ne može da se primeni. Kada sam bio student na Bohrovom institutu u Kopenhagenu; on je već bio veliki naučnik i nisam se usudio da mu postavim pitanje o tome.

Danas postoje dva široko prihvaćena pristupa kvantnoj mehanici, „realistički“ i „instrumentalistički“, koji na vrlo različite načine vide poreklo verovatnoće u merenju.9 Kasnije ću objasniti zašto ni jedan ni drugi ne smatram sasvim zadovoljavajućim.10

3.

Instrumentalistički pristup je potomak kopenhagenske interpretacije, ali umesto zamišljanja granice iza koje se stvarnost ne opisuje kvantnom mehanikom, on potpuno odbacuje kvantnu mehaniku kao opis stvarnosti. I dalje postoji talasna funkcija, ali ona nije stvarna kao što su to čestica ili polje. Ona je samo instrument koji nas snabdeva predviđanjima verovatnoća raznih ishoda tokom merenja.

Imam utisak da nevolja sa ovim pristupom nije samo to što odustaje od starog cilja nauke: da saznamo šta se stvarno zbiva. Takva predaja je posebno mučna. Pristalica instrumentalnog pristupa mora da pretpostavi kao fundamentalne zakone prirode pravila (poput ranije pomenutog Bornovog pravila) korišćenja talasne funkcije za izračunavanje verovatnoća raznih rezultata kada ljudska bića vrše merenja. Tako su ljudska bića uvedena u prirodne zakone na najfundamentalnijem nivou. Po mišljenju Eugena Wignera, pionira kvantne mehanike: „Nije bilo moguće formulisati zakone kvantne mehanike na sasvim konzistentan način bez pozivanja na svest.“11

Tako instrumentalistički pristup okreće leđa viziji koja je postala moguća posle Darvina: viziji sveta u kome bezlični fizički zakoni upravljaju svim, pa i ljudskim ponašanjem. Ne prigovaramo razmišljanju o ljudima, ali želimo da shvatimo odnos ljudskih bića prema prirodi, a ne da pretpostavimo prirodu tog odnosa tako što ćemo ga uneti u zakone koje smatramo fundamentalnim zakonima prirode; cilj nam je da dedukujemo iz zakona koji se ne pozivaju izričito na ljude. Možda ćemo na kraju morati da se odreknemo tog cilja, ali mislim da to vreme još nije došlo.

Neki fizičari koji usvajaju instrumentalistički pristup tvrde da su verovatnoće koje izvodimo iz talasne funkcije objektivne verovatnoće, nezavisno od toga da li ljudi vrše merenje ili ne. To mi se čini neodrživim. U kvantnoj mehanici te verovatnoće ne postoje dok ljudi ne odluče šta će meriti – na primer spin u ovom ili onom pravcu. Za razliku od klasične fizike, izbor se mora napraviti jer se u kvantnoj mehanici ne može sve meriti istovremeno. Kao što je pokazao Werner Heisenberg, čestica ne može u isto vreme imati i određen položaj i određenu brzinu. Merenje jednog sprečava merenje drugog. Isto tako, ako znamo talasnu funkciju koja opisuje spin jednog elektrona, možemo da izračunamo verovatnoću da će taj elektron imati pozitivan spin u pravcu severa ako se to meri, ili verovatnoću da će imati pozitivan spin u pravcu istoka ako se to meri, ali ne možemo postaviti pitanje o verovatnoći spinova za koje smo otkrili da su pozitivni u oba pravca zato što ne postoji stanje u kome elektron ima određeni spin u dva različita pravca.

4.

Ti problemi su delimično izbegnuti u realističkom pristupu kvantnoj mehanici, u kojoj se talasna funkcija i njena deterministička evolucija ozbiljno shvataju kao opis stvarnosti. Ali iz toga nastaje drugi problem.

Realistički pristup ima jednu neobičnu implikaciju, koju je prvi put uočio Hugh Everett 1957, u svojoj prinstonskoj doktorskoj tezi. Kada fizičar meri spin elektrona, recimo u pravcu severa, realistički pristup pretpostavlja da talasna funkcija elektrona, merni aparat i fizičar deterministički evoluiraju po diktatu Schrödingerove jednačine; ali zbog njihove interakcije tokom merenja, talasna funkcija postaje superpozicija dva stanja: u jednom je spin elektrona pozitivan i svako na svetu ko ga gleda misli da je pozitivan, a u drugom je spin negativan i svako misli da je negativan. Pošto u svakom stanju talasne funkcije svi smatraju da spin ima jedan određen predznak, ne može se otkriti postojanje superpozicije. U stvari, istorija sveta se podelila u dva nepovezana toka.

Već to je dovoljno čudno, ali cepanje istorije ne događa se samo kad neko meri spin. Realistički pristup podrazumeva da se istorija sveta neprestano deli – svaki put kad je makroskopsko telo upleteno u izbor kvantnih stanja. Nezamislivo ogromna raznovrsnost istorija dala je obilje građe za naučnu fantastiku12 i racionalni temelj za multiverzum, gde je posebna kosmička istorija u kojoj se nalazimo ograničena zahtevom da mora biti jedna od istorija u kojoj su uslovi dovoljno benigni da omogućuju postojanje svesnih bića. Ali sve te paralelne istorije su duboko uznemirujuće; kao i mnogi drugi fizičari, i ja bih više voleo samo jednu istoriju.

Teškoće u realističkom pristupu ne proizlaze samo iz naših palanačkih preferencija. Po tom pristupu talasna funkcija multiverzuma evoluira deterministički. Još možemo da govorimo o verovatnoćama kao frakcijama vremena u kojima se dobijaju razni mogući rezultati kad se merenje obavlja mnogo puta u jednoj istoriji; ali pravila koja upravljaju time koje ćemo verovatnoće opaziti morala bi da slede iz deterministčke evolucije celog multiverzuma. Kada ne bi bilo tako, za predviđanje verovatnoća bila bi nam potrebna neka dodatna pretpostavka o tome šta se događa kada ljudska bića obavljaju merenja, i eto nam opet nedostataka instrumentalističkog pristupa. Neki pokušaji u okviru realističkog pristupa približili su se izvođenju pravila poput Bornovog, koje, kao što znamo, eksperimentalno dobro radi, ali po mom mišljenju nije konačno uspešno.

Realistički pristup kvantnoj mehanici već je zapao u jednu drugu nevolju mnogo pre nego što je Everett pisao o višestrukim istorijama. O tome su u radu iz 1935. govorili Einstein i njegovi saradnici Boris Podolsky i Nathan Rosen u vezi s pojavom „zapletenosti“.13

Prirodno smo skloni mšljenju da se stvarnost može lokalno opisati. Mogu da kažem šta se događa u mojoj laboratoriji, a vi možete reći šta se događa u vašoj, ali ne moramo istovremeno da govorimo o događajima u obe. Ali u kvantnoj mehanici je moguće da neki sistem bude u zapletenom stanju, što podrazumeva povezanosti između proizvoljno udaljenih delova sistema nalik na povezanost dva kraja veoma dugačkog štapa.

Pretpostavimo, na primer, da imamo par elektrona čiji je ukupni spin u bilo kom pravcu jednak nuli. U takvom stanju, talasna funkcija (zanemaruje se sve osim spina) jeste zbir dva stanja: u jednom elektron A ima pozitivan spin, a elektron B negativan spin, recimo u pravcu severa, dok su u drugom pozitivni i negativni predznak obrnuti. Tada kažemo da je elektronski spin zapleten. Ako ništa ne interferira s tim spinovima, zapleteno stanje će i dalje postojati čak i ako se elektroni veoma udalje jedan od drugog. Koliko god da su daleko, možemo govoriti samo o talasnoj funkciji dva elektrona a ne svakog od njih zasebno. Zapletenost je doprinela Einsteinovom nepoverenju u kvantnu mehaniku u jednakoj meri kao pojava verovatnoća, a možda i više.

Koliko god to čudno izgledalo, zapletenost koju povlači kvantna mehanika stvarno se može eksperimentalno posmatrati. Ali kako nešto tako nelokalno može predstavljati stvarnost?

5.

Kako prevazići nedostatke kvantne mehanike? Jedan razuman odgovor sadržan je u legendarnom savetu datom studentu: „Ćuti i računaj!“ Nema spora oko toga kako koristiti kvantnu mehaniku, problem je samo kako opisati šta sve to znači, dakle, problem je možda samo u rečima.

S druge strane, problemi razumevanja merenja u sadašnjem obliku kvantne mehanike mogu biti upozorenje da je teoriju potrebno korigovati. Kvantna mehanika tako dobro radi za atome da bi svaka nova teorija morala biti gotovo identična kvantnoj mehanici u primeni na tako male stvari. Ali nova teorija bi mogla biti tako smišljena da superpozicije stanja velikih stvari kao što su fizičari i njihovi merni aparati čak i u izolaciji trpe stvarni, brzi spontani kolaps, u kome se razvijaju verovatnoće kako bi se dobili rezultati očekivani u kvantnoj mehanici. Everettove mnoge istorije prirodno bi se urušile u jednu istoriju. Cilj postavljanja nove teorije je da se to dogodi ne davanjem posebnog statusa merenju u zakonima fizike, već kao deo onoga što bi u postkvantnoj teoriji bili obični fizički procesi.

Teškoća u razvoju takve nove teorije je to što nam eksperimenti ne pokazuju pravac – zasad se svi podaci slažu sa običnom kvantnom mehanikom. Ali izvesnu pomoć dobijamo od nekih opštih principa, koji svakoj novoj teoriji postavljaju neobično stroga ograničenja.

Očigledno, verovatnoće moraju biti prosti brojevi i njihov zbir mora iznositi 100. Postoji još jedan zahtev koji zadovoljava obična kvantna mehanika: da u zapletenim stanjima evolucija verovatnoća tokom merenja ne može da se iskoristi za slanje trenutnih signala, što bi se sudarilo s teorijom relativnosti. Posebna relativnost zahteva da nikakav signal ne može da putuje brže od svetlosti. Kada se ti zahtevi saberu, pokazuje se da najopštija evolucija verovatnoća zadovoljava jednačinu koja pripada klasi Lindbladovih jednačina.14 Ta klasa sadrži Schrödingerovu jednačinu iz obične kvantne mehanike kao poseban slučaj, ali u osnovi Lindbladove jednačine podrazumevaju mnoštvo novih različitih kvantiteta koji prevazilaze postojeću kvantnu mehaniku. Naravno, pojedinosti o tim kvantitetima danas su nam nepoznate. Iako to izvan teorijske zajednice gotovo nije primećeno, već postoji niz zanimljivih radova, počev od uticajnog rada Giana Carla Ghirardija, Alberta Riminija i Tullia Webera u Trstu, u kome se koriste Lindbladove jednačine za razna uopštavanja kvatne mehanike.

U poslednje vreme razmišljam o mogućem eksperimentalnom traženju znakova menjanja obične kvantne mehanike u atomskim satovima. U jezgru svakog atomskog sata je sprava koji je izumeo Norman Ramsey za usklađivanje frekvencije mikrotalasa ili vidljive radijacije s poznatom prirodnom frekvencijom osciliranja talasne funkcije atoma kad je on u superpoziciji dva različita energetska stanja. Prirodna frekvencija jednaka je energetskoj razlici između dva atomska stanja koja se koriste u satu, podeljenoj Planckovom konstantom. Ona je ista u svim spoljnim uslovima i zato služi kao čvrsta referencija za frekvenciju onako kao što cilindar od platine i iridijuma u Sevru služi kao standard za masu.

Usklađivanje frekvencije elektromagnetnog talasa s tom standardnom frekvencijom donekle je slično usklađivanju frekvencije metronoma sa drugim metronomom. Ako istovremeno pokrenemo oba metronoma i oni se i dalje poklapaju posle hiljadu udara, znamo da su njihove frekvencije iste bar do jednog hiljaditog dela. Kvantnomehanička računanja pokazuju da u nekim atomskim satovima usklađivanje mora da postigne preciznost od jedan/sto miliona milijardi, i ta preciznost je ostvarena. Ali kad bi korekcije kvantne mehanike predstavljene novim kvantitetima u Lindbladovim jednačinama (izraženim kao energije) bile tako velike kao jedan/sto miliona milijardi energetske razlike između atomskih stanja koja se koriste u satu, ta preciznost bi bila potpuno izgubljena. Novi kvantiteti morali bi, dakle, da budu još manji (to jest, manji od jedan/sto miliona milijardi).

Koliko je značajna ta granica? Nažalost, ove ideje o modifikaciji kvantne teorije nisu samo spekulativne već i maglovite, i nemamo pojma kolike bi morale biti ispravke kvantne mehanike. Na to pitanje, ali i opštije, na pitanje o budućnosti kvantne mehanike, moram da ponovim reči Viole iz Bogojavljenske noći: „O, vreme, ovo ti moraš da raspleteš, a ne ja!“

Steven Weinberg, The New York Review of Books, 19.01.2017., prevela Slavica Miletić, izvor: Peščanik.net, 26.02.2017.

________________
  1. Uslovi za zvučne talase na zatvorenim ili otvorenim krajevima cevi (svirale) orgulja zahtevaju da u sviralu mora da se uklopi ili neparan broj četvrtina zvučnih talasa ili čak neparan broj polovina zvučnih talasa, što ograničava moguće tonove koje svirala može da proizvede. U atomu talasna funkcija mora da zadovolji uslove kontinuiteta i konačnosti blizu i daleko od jezgra, što na sličan način ograničava moguće energije atomskih stanja.
  2. Navedeno u: Abraham Pais in ‘Subtle Is the Lord’: The Science and the Life of Albert Einstein / ‘Bog je tajanstven’: Nauka i život Alberta Ajnštajna (Oxford University Press, 1982), str. 443.
  3. Richard Feynman, The Character of Physical Law / Priroda fizičkih zakona (MIT Press, 1967, str. 129.
  4. Lawrence M. Krauss, A Universe from Nothing / Svemir ni iz čega (Free Press, 2012), str. 138.
  5. Gino Segrè, Ordinary Geniuses / Obični geniji (Viking, 2011).
  6. Ovo su kompleksni brojevi, čiji je opšti oblik a+ib, gde su a i b realni brojevi, a i je koren od minus jedan.
  7. Koliko god bila jednostavna, takva talasna funkcija obuhvata mnogo više informacija, a ne samo izbor između pozitivnog i negativnog spina. Te dodatne informacije čine kvantne kompjutere, koji skladište informacije u takvoj talasnoj funkciji i mnogo su moćniji od običnih digitalnih kompjutera.
  8. Da budemo precizni, ti “kvadrati” su kvadrati apsolutnih vrednosti kompleksnih brojeva u talasnoj funkciji. Za kompleksni broj oblika a+bi, kvadrat apsolutne vrednosti je kvadrat od a plus kvadrat od b.
  9. Suprotnost između ta dva pristupa je dobro opisao Sean Carroll u The Big Picture / Velika slika (Dutton, 2016).
  10. Ovo objašnjavam matematički podrobno u Lectures on Quantum Mechanics / Predavanja o kvantnoj mehanici, Section 3.7, drugo izdanje (Cambridge University Press, 2015).
  11. Navedeno u Marcelo Gleiser, The Island of Knowledge / Ostrvo znanja (Basic Books, 2014), str. 222.
  12. Na primer, Northern Lights / Severna svetla Philipa Pullmana (Scholastic, 1995), i rana epizoda Zvezdanih staza “Ogledalo, ogledalo”.
  13. O zapletenosti je ovde nedavno raspravljao Jim Holt (10. novembar 2016).
  14. Jednačina je dobila ime po Göranu Lindbladu, ali su je nezavisno otkrili i Vottorio Gorini, Andzej Kossakowski i George Sudarshan.
Oglasi